控制系统的时域响应

在典型输入信号的作用下,任何系统的时域响应都是由动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程是指系统输出量由初始值到达稳态值的相应过程。

时域性能指标

  • 上升时间 (Rise Time)

    响应曲线从零首次上升到稳态值所需的时间;对于响应无振荡的系统,是响应曲线从稳态值 10% 上升到 90% 所需要的时间。

  • 峰值时间 (Peak Time)

    响应曲线超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间,它反映了系统动态过程的快速性。

  • 调节时间 (Setting Time)

    响应达到并保持在稳态值的 (或)误差带 内所需要的最短时间。反映的是系统的响应速度和阻尼程度的综合性指标。

  • 超调量 (Overshoot)

    输出量的最大值 和与稳态值 之差与稳态值的百分比:

    反映了系统动态过程的平稳性。

  • 稳态误差 (Steady-state error)

    当时间 趋向于无穷大时,系统输出量的稳态值与期望值之差,是衡量系统稳态性能的重要性能指标。

线性系统动态性能分析

一阶系统

First-order System.

以一阶微分方程或传递函数分母中 的最高次幂为 1 描述的系统。

传递函数

  • 为表示惯性大小的时间常数;
  • 为静态增益

为 1 时,传递函数是一阶系统的标准形式。

开环传递函数

单位阶跃响应

输入信号:

系统输出:

对其做拉普拉斯反变换,得单位阶跃响应:

First-order system

动态性能指标

调节时间 :

时间常数 反映系统的惯性,惯性越小、斜率越大、调节时间越短、响应越快。

二阶系统

Second-order System.

以二阶微分方程或传递函数分母中 的最高次幂为 2 描述的系统称为二阶系统。

传递函数标准形式

无闭环零点的二阶系统

  • 为阻尼比;
  • 为无阻尼振荡频率。

Second-order System

开环传递函数

特征方程和极点

极点:

阻尼特性

  • 时,方程有两个不等的负实根,称为过阻尼 (Over Damped);

  • 时,方程有两个相等的负实根,称为临界阻尼 (Critically Damped);

  • $$0 < \zeta < 1$$ 时,方程有一对负实部的共轭复根,系统具有衰减振荡特性,称为欠阻尼 (Under Damped);

  • 时,系统有一对共轭纯虚根,系统单位阶跃响应作等幅振荡,称为无阻尼 (Un-Damped)。

单位阶跃响应

过阻尼情况 ($\zeta>1$)

由于 $T_1 = \frac{1}{\omega_n(\zeta-\sqrt{xi^2-1}}, T_2 = \frac{1}{\omega_n(\zeta+\sqrt{xi^2-1}}$ ,显而易见,$T_1>T_2$ 。因此,过阻尼二阶系统可看成两个惯性环节的串联。

临界阻尼情况 ($\zeta = 1$)

单位阶跃响应为:

性能指标: $\zeta = 1$ 时($\frac{T_1}{T_2} = 1$),$t_s = 4.75T_1$ .

欠阻尼情况 ($0<\zeta <1$)

特征根:

$\sigma = \zeta\omega_n$ 称为衰减系数,$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 称为阻尼振荡频率。

Under Dumped

$\beta = arctan \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} = arccos\zeta$ 称为阻尼角。

响应曲线的包络线为 $1 \pm \frac{e^{\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

line

动态性能指标:

上升时间 $t_r= \frac{\pi-\beta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$ :当 $\omega_n$ 一定时,$\zeta$ 越小,$t_r$ 越小;当 $\zeta$ 一定时,$\omega_n$ 越大,$t_r$ 越小。

峰值时间 $t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$ :当 $\omega_n$ 一定时,$\zeta$ 越小,$t_r$ 越小;当 $\zeta$ 一定时,$\omega_n$ 越大,$t_r$ 越小。

超调量 $\sigma \% = e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}$ :只与阻尼比 $\zeta$ 有关,与无阻尼振荡频率 $\omega_n$ 无关;超调量 $\sigma \%$ 与 阻尼比 $\zeta$ 成反比例关系。

调节时间 $t_s \approx \frac{3.5}{\zeta\omega_n}, \Delta = 5\% \ ; \ t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}, \Delta = 2\%$ : $\zeta\omega_n$ 越大, 调节时间 $t_s$ 越小。

diff zeta

一般为了获得良好的平稳性和快速性(使调节时间变短),$\zeta$ 一般取 $0.4 \sim 0.8$ 为宜。

控制性能改善

比例 - 微分 控制

Proportional-derivative control.

其中,等效阻尼比 $\zeta_n = \zeta + \frac{1}{2}T_d\omega_n$ 。

  • 比例-微分控制使系统阻尼比增加,超调量下降,调节时间缩短。
  • 闭环零点 之前的动态性能公式不再适用 使系统的响应速度加快。
测速/速度 反馈控制

其中,系统的阻尼比 $\zeta_t= \zeta + \frac{1}{2}K_t\omega_n$ ;速度反馈系数 $K_t$ 。

  • 测速反馈控制增大了系统的阻尼比 $\zeta$ ,从而减小了系统的超调量 $\sigma \%$ ;
  • 不形成闭环零点;
  • 不容易受噪声影响。

高阶系统动态性能近似分析

高阶系统闭环传递函数:

闭环零极点的乘积形式(首 1):

$K^* = {b_m \over a_n}$ , $z_j$ 为闭环零点,$s_i$ 为闭环极点。

主导极点:对系统响应的动态过程起主导作用的极点。

  • 距离虚轴最近的极点;
  • 其周围没有闭环零点;
  • 且其他极点远离虚轴。

左半平面的极点:距离虚轴越近,则对应的模态衰减越慢;反之,越快。

线性系统稳定性分析

稳定性是指系统受到扰动后偏离了原来的运动状态,产生初始偏差,当扰动消失后,系统能否恢复到原来稳定状态的能力。

稳定的充分必要条件

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均严格位于左半 $s$ 平面。

劳斯稳定判据

Routh’s stability criterion.

稳定的必要条件

设线性定常系统的特征方程为:

式中,$a_0,a_1,...a_n$ 均为实数。

线性系统稳定的必要条件是特征方程所有系数均为正,且不缺项。若系统特征方程式的各项系数中有负或零项(缺项),则系统一定不稳定。

劳斯稳定判据

Routh's stability criterion

构造规律:

  • 第一行由特征方程中第一、三、五等项系数组成,第二行由特征方程中第二、四、六等项系数组成;
  • 后面元素的值 = 以该元素前两行中第一列与后一列元素构成该的行列式做分子,以该元素前一行第一列元素做分母的分数值;
  • 劳斯表共有 (n+1) 行,第 (n+1) 行仅有第一列有值,为特征方程的常数项 $a_n$ ;
  • 劳斯表的系数排列呈上三角形排列, 空位值补零。

线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列元素全部大于零,若出现小于零的元素,系统不稳定,且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。

特殊情况

  • 劳斯表中某行的第一列元素为零,其他元素不为零或不全为零。

    用任意小的正数 $\varepsilon$ 代替 0,继续劳斯表的计算进行判断。

  • 劳斯表中出现某行系数全为零。
    1. 用第 $k-1$ 行的元素构成辅助方程, $s$ 的幂次一次递减 2 次。
    2. 对辅助方程求导,用所得的方程系数代替全零行,继续完成劳斯表。
    3. 解辅助方程得到绝对值相同,符号相异的根。

相对稳定性分析

  1. 在 $s$ 左半平面作 $s=-\sigma$ 垂线;
  2. 令 $s1=s+\sigma$ 带入原特征方程,得到以 $s1$ 为变量的新的特征方程;
  3. 当劳斯表第一列元素都为正,说明系统所有根都在 $s=-\sigma$ 垂线之左,此时系统具有 $\sigma$ 的稳定裕度。

线性系统稳态性能分析

前提:系统是稳定的。

稳态误差分析

系统误差 $e(t)$ 为系统希望输出量 $c_r(t)$ 和实际输出量 $c(t)$ 之差,即 $e(t) = c_r(t)-c(t)$ 。

稳态误差为误差信号的稳态值,即 $e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t)$ 。

  • 开环不稳定的系统并不一定闭环也不稳定;
  • 稳定误差无穷大的系统不一定不稳定;
  • 稳定误差与输入信号有关。

典型输入信号下的稳态误差分析

仅讨论单位反馈系统。

$G(s)$ 为典型环节的乘积形式:

$K$ 为开环增益, $v$ 是系统型别。

通过终值定理求得稳态误差为:

系统的稳态误差与系统的型别 $v$ ,开环增益 $K$ 及输入信号 $R(s)$ 有关。

系统 (单位负反馈 系统) 稳态误差
$e_{ss}$ \ 输入 $r(t) = R_0\cdot l(t)$ $r(t)=V_0t$ $r(t)=\frac{A_0t^2}{2}$
$0$ 型 $\frac{R_0}{1+K}$ $\infty$ $\infty$
$I$ 型 $0$ $\frac{V_0}{K}$ $\infty$
$II$ 型 $0$ $0$ $\frac{A_0}{K}$
  • $v$ 越大,越容易消除稳态误差;
  • $K$ 增大,可减少稳态误差;
  • $R_0, A_0, V_0$ 增大,使得 $e_{ss}$ 增大。

增大 $K$ 或 $v$ 容易消除或减少稳态误差,但过大也会引起系统不稳定,不能够无限增大,积分环节不能太多。

实际系统中,一般不超过 $II$ 型系统。

减小 / 消除稳态误差的方法 1

使系统的误差 $E(s) = 0$ 的补偿,称为全补偿;

使系统的稳态误差 $e_{ss} = 0$ 的补偿,称为稳态全补偿。

  • 按给定输入补偿的复合控制
  • 按扰动补偿的复合控制

PID 控制器设计 1

PID


  1. 不要求掌握。 
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